Árbol del vecino - Seguridad y suciedad. ¿Quién es responsable?

Entonces no veo ningún peligro para tu hijo aquí. Al menos si se queda con las ramas pequeñas que se ven en las fotos. Sí, el árbol ensucia, pero él estuvo allí primero. Puedo entender un poco a tu vecino, que no esté precisamente encantado cuando de repente llega el nuevo vecino y quiere que se corten los árboles. Quizás deberían dejar todo como está por ahora y en otoño volver a hablar y ofrecerse a hacerse cargo de los costos para que le corten las ramas del lado de ustedes.

Si lo veo bien en las imágenes, son coníferas, lo que también coincide con las piñas. Las ramas están completamente secas excepto en la copa. Me imagino que en unos años ninguno de los árboles vivirá y entonces tendrán que ser eliminados de todos modos.

Que el propietario se niegue a eliminarlos podría deberse a que los árboles están entre la frontera y el cobertizo o lo que sea que sea, y no pueden ser eliminados tan fácilmente.

Hazle la propuesta de que los elimine en otoño. Podría dejar caer los árboles en tu terreno y luego cortarlos y transportarlos desde allí.

Además, puedes comunicarle que planean construir un cobertizo para herramientas en la parte trasera del jardín o plantar arbustos, árboles, con la distancia correspondiente, lo que significa que una eliminación sencilla y, por lo tanto, probablemente económica, ya no sería posible para él.

Quizás esto haga que tome alguna medida.

Aquí se aplica el §910 del Código de Construcción, párrafo 1. Fijar un plazo razonable.
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Sería genial si fuera tan simple :)
Porque también existe el párrafo 2 del §910 del Código de Construcción:
"(2) El propietario no tiene derecho a esto si las raíces o las ramas no afectan el uso del terreno."

Aquí, en principio, no veo afectado el uso del terreno. Si el propietario piensa diferente y el "propietario del árbol" se pone terca, no se consigue nada - a pesar del Código de Construcción. Así que probablemente sólo quedaría el "peligro inminente" debido al estado enfermo de los árboles. Pero allí también puede volverse complicado y en el §910 del Código de Construcción no se menciona nada al respecto.

No veo afectado el uso del terreno en principio.

Solo mira el suelo. Por las agujas, el suelo está completamente jodido (ácido). Eso tampoco mejorará. La afectación es grande.
Pero,

Si el propietario piensa diferente y el "propietario del árbol" se pone terco

, solo queda el camino del perito. Ese es el camino habitual.

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La afectación es grande.
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¿Grande? Yo hablaba de la idoneidad fundamental. El terreno en el lugar de los árboles no se vuelve inutilizable.

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Por las agujas, el suelo está completamente en el culo (ácido).
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En la primera imagen se puede ver, en mi opinión, que todo el suelo (visible) está "en el culo". Además, el vertedero junto a la cerca sería para mí un problema (óptico) mayor.

Para un niño pequeño veo - exagerando - que las paletas apiladas son una fuente de peligro mayor. El niño podría trepar, saltar ... caer de forma desafortunada, romperse el pie y el cuello.

Solo mira el suelo. Debido a las agujas, el suelo está completamente en mal estado (ácido). Eso tampoco mejorará. La afectación es grande.

El problema es único. Si juzgo por el estado de Teuto y Wiehengebirge en comparación con los 4 árboles, el 50% de ellos están muertos y no brotan agujas. El resto también heredará los barrenillos este año y morirá.

Entonces sería momento de talar, ya que pueden doblarse o romperse en la próxima tormenta. Pero el OP tampoco debería preocuparse por los niños, porque con tormenta no deberían estar de todas formas en el jardín.