Árbol del vecino - Seguridad y suciedad. ¿Quién es responsable?

No sabes cómo le cayó el recién llegado al viejo.
Quizás también provocó arcadas

No estuvimos todos presentes en la conversación. Quizá el TE también estaba un poco alterado porque vio a su hijo en peligro y por eso se expresó de manera algo inapropiada (desde el punto de vista del vecino). Que se reaccione con una actitud defensiva es completamente comprensible y probablemente la mayoría de nosotros también actuaríamos así. No me gustan los árboles, pero eso ya se sabía cuando se compró el terreno. Por lo tanto, nadie puede quejarse ahora. Como ya dije, yo dejaría todo tal como está y continuaría con la planificación del jardín. En el peor de los casos, uno de los árboles o ramas grandes caerá en el jardín durante la próxima tormenta. Es molesto, pero mientras la casa no sea afectada, no es tan grave. Para eso existen los seguros. Probablemente el niño no esté jugando en el jardín en ese momento.

No estuvimos todos presentes en la conversación.

Exacto. No estuvimos presentes.
Y dado que el OP tampoco dice nada ni nos aclara, se podrían sacar conclusiones de que probablemente él también ha reconocido sus errores en la comunicación, los cuales se le están mostrando aquí, y que primero necesita digerirlos. Pero no lo sabemos.

Probablemente aplica para todas las páginas: "Un hombre, si quiere ignorar algo,/ no debe equivocarse en el tono vergreifen." (Eugen Roth). La mayoría de los conflictos vecinales no giran en torno al asunto en sí.

Se expresa en un fenómeno para mí más bien moderno, que el constructor de la casa a veces tiene su cerca puesta antes de que la casa esté construida. Claro que se puede permitir, pero para algunos también expresa algo.
Creo que también aquí las cosas están algo entre el blanco y el negro.
Especialmente en el ámbito interpersonal, el "derecho" es una de las cosas más difíciles de aplicar. Muchas veces (aunque aquí no tiene que ser así) uno solo quiere ver su derecho y no el deber, y ese generalmente lo ve el otro.
Por supuesto, también hay más o menos compañeros desagradables.

Aquí aplica el §910 del Código de Construcción, apartado 1. Establecer un plazo razonable.

Ahí tendría cuidado, el párrafo 2 lo limita nuevamente, y no se dice si las ramas afectan el uso.