Hallo,
zum §34:
Art der baulichen Nutzung:
Es handelt sich offensichtlich um ein Wohngebiet (evt. Mischgebiet) und ihr baut ein Wohnhaus. Somit ist das Kriterium erfüllt.
Maß der baulichen Nutzung:
Das neue Gebäude muss sich im Maß einfügen. Es darf daher nur vergleichbare Ausmaße annehmen, wie sie Eigenart der näheren Umgebung sind. Die nähere Umgebung sind NICHT nur die angrenzenden Gebäude. Grob kann man annehmen, dass alles, was in direkter Sichtverbindung liegt, relevant ist (z.B. Gebäude gegenüber der Straße). Relevante Maße sind die von außen Wahrnehmbaren und somit Offensichtlichen, wie Länge, die Breite und die Höhe des Gebäudes. Bei Satteldächern sind sowohl die Traufhöhe, als auch die Firsthöhe relevant. Damit ist indirekt auch die Anzahl der Geschosse ein Maß der baulichen Nutzung.
Oftmals vergessen wird im Zusammenhang des Maßes der baulichen Nutzung auch das Verhältnis zwischen bebauter Fläche und freier Grundstücksfläche. Die ist grundsätzlich nach oben limitiert und kann durch die Umgebung weiter eingeschränkt sein. Ebenso ist die Position auf der Grundstück Teil des Maßes der baulichen Nutzung (z.B. bei offensichtlichen Baulinien). Die Dachform ist nicht Teil des Maßes der baulichen Nutzung.
Das Ortsbild darf nicht beeinträchtigt werden:
Auslegungssache der Behörde. Grobe Abweichungen können damit reguliert werden, in der Praxis aber meist nicht relevant, wenn ihr nicht gerade ein neonfarbenes Gebäude
Was wirklich gebaut werden kann hängt stark von der genauen Flurnummer eures Grundstücks ab. Wenn euer Grundstück an der markierten Position deines Kartenausschnitts liegt würde ich der Stadt zustimmen und nur ein eingeschossiges Gebäude dort sehen. In NRW gilt die 2/3 Regel für Vollgeschosse, ein findiger Architekt mit Draht zum Bauamt kann ggf. ein Staffelgeschoss bei einem Flachdachgebäude durchsetzen. Am Hang bleibt zudem die Möglichkeit in Untergeschoss mit einseitigem Gartenzugang zu planen.
Das Haus mit Flachdach und Staffelgeschoss würde ich nicht mehr als nähere Umgebung ansehen. Das Haus hinter dem Wohnwagen hingegen wohl schon.
Viele Grüße