Vereinfacht gesagt:
Teilversäumnisurteil heißt, deine Klage ist ausschließlich unter Wertung der Klageschrift zum Teil schlüssig, zum Teil nicht. Legt der Beklagte nun Einspruch ein, geht das Verfahren normal weiter. Falls nicht, kann gegen das Urteil nur noch Berufung eingelegt werden.
Nach Eintritt der Rechtskraft (bzw. auch schon jetzt, aber das ist eher nicht anzuraten) kann das Urteil vollstreckt werden, d.h. du kannst zur Not mit Hilfe eines Gerichtsvollziehers die Freigabe des Kautionskontos durchsetzen.
Die Verfahrenskosten werden im Verhältnis der Klage zum Tenor aufgeteilt, da deine Klage ja nicht vollständig erfolgreich war. Als Kläger hast du einen Vorschuss zahlen müssen, den kannst du beim Beklagten teilweise geltend machen. Dazu gehören nicht nur die Gerichtskosten, sondern auch die Kosten für deinen Anwalt. Dazu werden die Kosten durch das Gericht festgesetzt und können dann ebenfalls beim Gegner geltend gemacht werden. Darum kümmert sich aber dein Anwalt selbst.