¿Es realista comprar una casa por un máximo de 350.000 €?

Dependiendo de la composición del suelo, los costos de eliminación y el equipamiento, puedes esperar costos adicionales de entre 60 y 100k y tendrás que cargar con peso. Ya estás planeando con un cobertizo.
¿Por qué entonces no poner la tecnología doméstica en la planta baja? Allí también puedes guardar productos de limpieza y otras cosas; en la planta superior un pequeño cuarto de lavado para lavar la ropa y algo de espacio de almacenamiento.
Detrás del carport un cuarto de almacenamiento para bicicletas y herramientas de jardín.
Es más barato y falta un piso.
La ventana de construcción debe proporcionar el espacio.

También recomendaría construir algo un poco más grande y sin sótano. Por ejemplo, nosotros añadimos a la cocina una habitación de 5x4 m, que a la vez ofrece un paso hacia los lugares de estacionamiento. Allí almacenamos bebidas, varios objetos para el exterior (por ejemplo, un conjunto de mesas y bancos para carpas de cerveza) y una pared está destinada a un banco de trabajo para mi esposo. Probablemente pronto añadiremos un pequeño congelador adicional. Desde el piso superior podemos usar todo esto también como balcón. Todo ello (sin el revestimiento del piso del balcón ni la barandilla) costó alrededor de 13 mil extra. Por lo general, no se necesita todo el espacio de un sótano, pero claro que se llena si está disponible.

También reconsideraría el sótano.
Construimos algo similar, 140 m², y tenemos un terreno completamente plano con un suelo sin problemas.
Sólo el sótano nos habría costado 70.000 más, además de los costos adicionales de construcción que eso conlleva.
Definitivamente no nos valió la pena.
Ahora solo para la casa estamos en 355.000 (exkl. Baunebenkosten), si eso te ayuda.

El sótano debe servir principalmente como sótano de servicio (posiblemente una sala de pasatiempos)

lo ha dicho claramente: el sótano como área útil es demasiado caro, hace que la construcción de la casa sea poco realista para vosotros.
La casa prefabricada en sí misma es aún entre 20.000 y 30.000 euros más cara para una casa unifamiliar de vuestro tamaño que la construcción convencional.
Simplemente añadir 10 m² en la planta baja para un cuarto de lavado a los 130 m², con el desván en la casa de techo a dos aguas se obtiene más espacio de almacenamiento. Entonces también es posible económicamente una caseta de jardín.
Para los precios ofertados de las casas: añadir un 20-25% da un cálculo realista. Pero no hay que olvidar los costos adicionales de construcción, las áreas exteriores y el carport.

Mentalmente ya nos hemos despedido de un sótano y quisiéramos intentar conseguir un lugar para estacionar de otra manera. Qué posibilidades hay aquí... no tengo ni idea todavía

Para aclarar un poco más las posibilidades financieras. Tenemos 420.000 € para la construcción de la casa, los costos adicionales y el área exterior.

Espacio de almacenamiento donde lo necesites.
Caseta de jardín para herramientas de jardín, parrilla, cojines para asientos, piscina para el invierno
Anexo cochera para herramientas, neumáticos, bicicletas
Técnica doméstica un poco más grande para productos de limpieza, cajas de bebidas
Armario empotrado bajo la escalera
Posiblemente un pequeño trastero en la planta alta
Ático para decoración navideña, maletas, etc.

Por 420.000 obtienes una casa del tamaño que deseas ok sin sótano +20m², una cochera, una caseta de jardín, una zona exterior y los gastos adicionales. Nada de alta gama, pero con equipamiento sólido