Computadora central con terminales en las habitaciones

Yo trasladaría el ordenador principal a la HAR o algo así y construiría la habitación de trabajo justo al lado. Así puedes mantener la conexión por cable dura como HDMI, USB, etc., y en la habitación de trabajo habrá tranquilidad.

Para los niños, etc., sin embargo, también optaría por NUCs o las variantes móviles.

Cuando se trata del acceso a los medios, aquí se podría trabajar con Plex o algo parecido y así acceder desde todos los clientes al ordenador principal en la casa.

¿De qué volumen de datos se trata?

Se trata de unos cuantos terabytes. Pero también se trata de que me gustaría respaldar estos datos localmente. También son datos de la empresa que simplemente no quiero guardar en una nube ajena.

¿Qué rendimiento necesitas? ¿Qué requerimientos debe tener el ordenador?

Actualmente tengo un PC por aproximadamente 2000€ y otro más por 1000€. A estos están conectados 3 monitores de 32 pulgadas cada uno (se planea ampliar a 4 monitores).

¿Qué deben poder hacer los niños y por qué no un PC propio? ¿Cuántos usuarios?

Hay 4 usuarios adicionales. Los niños no necesitan poder hacer nada especial. Pensé que si centralizo el hardware para mi oficina, también tiene sentido centralizar todo el hardware directamente.

Entonces alquila un servidor dedicado y crea tu propia nube con Nextcloud. ¿Para qué aplicaciones? El remoto no es bueno para jugar. Todo lo demás debería poder cubrirse bien. ¿Los 4 monitores se conectan a una PC o también a diferentes? ¿O sea, las 4 PCs son para ti y tres usuarios más o usas las 4?

Aquí no se trata de "necesitar". Lo veo completamente bien. Hay que verlo como un hobby.
Con las cantidades de datos te recomendaría un servidor + espacio de almacenamiento o un NAS muy potente. Cuesta bastante dinero.
Encima una o varias VMs. Acceder a ellas desde PCs cliente de forma remota.
Así puedes tener tus datos localmente. Una copia de seguridad en uno de sus dispositivos/unidades, preferiblemente en otro lugar, siempre es necesaria. Además una UPS.
Yo también tengo algo así en mi casa (red sobredimensionada, un gran NAS y uno adicional...) ;)
El mayor "problema" es la solución de múltiples pantallas por remoto. Sé que Igel (punto com) realiza algo así con Thinclients de Dell.
Para tus hijos basta con un monitor. Ahí es sencillo.

Mientras no digas con más precisión qué vas a hacer con eso, solo es andar a tientas en la oscuridad.
PC por 2000 y 3 monitores no dicen nada sobre cuáles son los requisitos.