Je peux m'en faire une idée approximative et une fois que c'est dans l'oreille, c'est encore pire de s'en débarrasser...
Mon expérience/idée à ce sujet :
Selon la relation avec le voisin, j'essaierais effectivement de passer par les voisins, peut-être que chacun peut faire quelque chose de bien pour l'autre. Le moment doit simplement être le bon, peut-être qu'une fois il se passe quelque chose lors d'une agréable conversation au portail... cela diminuerait au moins la cause. Je pense qu'ils ne s'en rendent peut-être pas compte. Peut-être qu'ils ont un problème similaire avec une autre chose chez vous... qui sait, et quand on est assis ensemble, on peut aussi en parler et demander s'il y a quelque chose qu'on peut faire pour eux en retour.
Je ne connais pas votre relation avec eux, mais à mon avis, ce serait la voie la plus sensée, même si peut-être la plus désagréable.
Comme tu l'entends même dans la maison et avec les volets fermés, les mesures d'atténuation du bruit dans le jardin ne serviront sans doute pas à grand-chose. Je te conseillerais donc d'essayer d'abord une solution mobile ou légère (des planches avec isolation acoustique entre, des plantes ou autre) avant de te faire faire quelque chose de cher qui, au final, ne t'apporterait rien.
Nous avions une haie de thuyas vraiment haute, très épaisse et très dense pendant des années ; même si les thuyas n'étaient pas le rêve de mes nuits sans sommeil, ils étaient vraiment denses ; devant il y avait la petite maison de sauna/jardin et c'était déjà un peu mieux ; mais tu entendras quand même probablement ces basses.