Si quieres comprar, aclara si la calle realmente va a ser absorbida. No sea que tengas que mantenerla abierta para terceros y en condiciones de seguridad vial.
Sí, creo que aquí aún no está del todo claro. El OP quiere obtener el terreno como su propiedad para su libre disposición, y no como su parte en una calle privada que además está gravada con derechos de paso de terceros y demás.
El procedimiento normal, que no ocurre automáticamente, es el siguiente: el municipio como responsable del mantenimiento, o un interesado colindante que quiera el terreno, pregunta si realmente se necesita esta vía como vía pública (todavía). Luego se procede a la desafectación (cuidado: puede que solo sea pública, en vez de que se notifique a cada afectado; no lo sé con exactitud). Después de que los afectados han dado su opinión, el ayuntamiento debe aprobar formalmente la absorción del terreno.
Por supuesto, el municipio debe aclarar si le comprarían las parcelas: no puede quedarse con ninguna a la que luego no pueda acceder ;-)
Y, a diferencia de la construcción de la calle, donde se pueden expropiar las parcelas necesarias, aquí nadie puede ser obligado a querer tener las parcelas.
La iniciativa típica viene por tanto de uno de los colindantes que quiere el terreno, generalmente preferentemente todo en conjunto*. Por eso digo que traigas un plano catastral. Hasta ahora no sabemos si "tu tramo" es siquiera una parcela propia. Sería sumamente poco habitual parcelar la calle para esto.
*) también con la consecuencia de tener el terreno solo, sin ofrecer derechos de paso a los vecinos.