Lo haría con glifosato, que personalmente considero bastante inofensivo para humanos y gatos. Pero entonces cortar el césped antes resulta contraproducente. Si no quieres usar productos químicos, corta el césped y pasa la motoazada, que es bastante económico y rápido en comparación con otras opciones. Si se añade tierra encima, no haría nada más; si el césped está bien cuidado, la maleza no tiene muchas oportunidades.
Dependiendo de la composición de tu suelo fértil, recomendaría mezclar arena en las áreas de césped.