El agente vende una casa sin permiso de construcción vigente. ¿Costos notariales?

La dolo es eso.

Básicamente, siempre paga el cliente. En este caso, es el agente inmobiliario
A menos que le hayan dado por escrito que puede "ordenar" en su nombre.

Si estás molesto por el comportamiento y quieres desearle algo bueno al nuevo comprador, entonces envía al vendedor una carta certificada con entrega a través de un alguacil judicial (no cuesta 20 euros) con tu constatación de que, según tu investigación, el permiso de construcción sería inválido. Si aun así vende, esto estará bien documentado, y el comprador podría entonces impugnar fácilmente la compra por [argl.] [Täuschung].

Es un engaño fraudulento.

Básicamente siempre paga el que hace el pedido. En este caso es el agente inmobiliario
A menos que le hayan dado por escrito que puede "ordenar" en su nombre.

Como máximo si se interpreta así el correo electrónico. Pero no hay firma ni nada parecido

¿Cuál fue el texto del correo electrónico?

Como se dijo al principio, "Llama al notario" y explícale a él o a su inspector notarial, que probablemente también redactó el contrato, lo que ha ocurrido. Si luego siquiera recibirás una factura es dudoso.
Por cierto, los notarios están obligados a la neutralidad y no pueden autorizar actos si están al tanto de irregularidades. Es decir, para el próximo intento de venta el agente inmobiliario ya necesitará otro notario.

Los agentes inmobiliarios son en un 99% delincuentes o inútiles. Es y seguirá siendo un negocio poco serio. Probablemente también en este caso.

Bajo ninguna circunstancia paguen nada, eso puedo aconsejarles.