Válvula de desagüe de la bañera - no cierra

El elemento giratorio en el borde de la bañera actúa sobre las varillas elevadoras que levantan y bajan el cierre. Si no lo hace, entonces el tornillo del cierre está desajustado o las varillas elevadoras no están bien conectadas entre sí.
El cierre tiene una tapa encajada para una mejor estética y una superficie más lisa. Aunque se puede girar, esto no tiene ninguna función.

¿Eso significa que si quito la tapa, es decir, lo blanco con el tornillo, y luego giro el regulador giratorio, debería ver cómo lo blanco (el tornillo) se mueve hacia arriba o hacia abajo?

Eso significa que si quito la tapa, es decir, la parte blanca con el tornillo, y luego giro el regulador, debería ver cómo la parte blanca (tornillo) se mueve hacia arriba o hacia abajo?

Eso no ocurre.

No puedo deducir claramente de tu afirmación a qué tornillo / "regulador" te refieres. Tienes un selector giratorio en el interior de la bañera junto al desbordamiento. Este sube y baja el cierre. En el propio cierre tienes un tornillo de ajuste que actúa de forma estática. Si este tornillo de ajuste está desenroscado demasiado, el cierre no puede bajar completamente y el agua se filtra. Si este tornillo de ajuste está enroscado demasiado, el cierre no puede abrirse con el selector giratorio y debería estar hermético.

Tienes un regulador giratorio en el interior de la bañera junto al desbordamiento. Este sube y baja el cierre. En el cierre mismo tienes un tornillo de ajuste que actúa de manera estática.

¿Te refieres con cierre a lo que he marcado ahora en rojo en la imagen? Si es así, no pasa nada cuando giro el regulador en el borde de la bañera, no se mueve nada. ¿Tengo que volver a ajustar el tornillo y cómo lo hago mejor? No puedo agarrarlo con un destornillador normal.

Tomas la pieza blanca que has rodeado y la sacas para ver si debajo se mueve un mecanismo de elevación cuando giras el selector en el borde de la bañera. Si es así, entonces la pieza blanca debe ser ajustada con el pasador metálico; esto debería hacerse con un tornillo que se sujeta con una contratuerca. Si no, debes acceder a la mecánica del mecanismo de palanca. Normalmente hay una trampilla de mantenimiento para ello, de lo contrario solo queda golpear para sacar.
La solución más económica es desmontar el cierre actual y usar un tapón simple como antes.